소수
prime number
인터넷의 발달로 우리는 스마트폰과 다양한 통신기기에서
인터넷을 사용하고 있습니다.
멀게만 느껴졌던 수학적 특성이
이러한 인터넷 시스템에도 적용이 된다는 것을 알고 계신가요?
중학교에 들어가면 접하게 되는 소수를
일찍 편하게 다가가도록 하고 싶었습니다.
물론 어른들에게는 지식과 상식의 축적을 하셨으면 하는 바램도 있었습니다.
수학을 공부해야 하는 이유.
수학이 생활에 필요한 존재라서 그렇다는 것을 역사를 통해서 알려드리도록 노력하겠습니다.
우리가 사용하는 인터넷 시스템에 소수의 수학적 특성을 활용한
직교 주파수 분할 다중 접속 시스템이 쓰여지고 있습니다.
밀레니엄 난제로 유명한 리만 가설을 아직 증명되지 않았으나
많은 수학자들의 호승심을 자극하고 있습니다.
유명한 수학자 다비트 힐베르트도 리만 가설을 증명하고 싶었습니다.
리만 가설에도 소수의 수학적 특성이 활용되고 있습니다.
그 중에서 소수의 규칙성을 다루고 있는 부분이 있는데
이런 소수의 분포를 통한 규칙성을 찾는 일은
우리에게 유명한 수학자 베른하르트 리만,
레온하르트 오일러,
카를 프리드리히 가우스가 있습니다.
역사 속의 소수는
어떻게 기록 되었을까요?
아직까지 발견된 역사적 자료로
소수의 시작을 추론하자면
린드 파피루스의 기록이 있습니다.
나눗셈과 약수의 개념을 바탕으로 한 여러 문제들이 있는데
분수의 계산과 단위 분수를 사용하여 수를 표현하는 방식이 특징적입니다.
특정 수를 여러 개의 단위 분수로 분해하는 과정에서
어떤 수를 두 개 이상의 단위 분수로 표현할 수 있다면
그 수는 1과 자기 자신 외에도 약수를 가진다는 것을 의미합니다.
이러한 분해 과정은 현대적 의미의 소인수분해와 유사한 개념으로 볼 수 있습니다.
정확히 소수를 알고 쓰였다고 볼 수는 없으나
소수의 개념과 유사하다고 추론해볼 수 있습니다.
고대 그리스의 유클리드는 기원전 300년경 자신의 저서 원론에서
소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다.
유클리드의 증명은 귀류법이라는 증명방식을 사용합니다.
귀류법은 어떤 명제가 거짓이라 가정하고
그 가정에서 모순이 발생한다는 것을 보여
원래 명제가 참임을 증명하는 방법입니다.
단순하면서도 강력한 논리를 사용하여
소수의 무한성을 증명했습니다
소수의 무한성을 증명하는 가장 오래되고 유명한 증명 중 하나입니다.
소수의 무한성을 뒷받침하는 연구 분야인
소수의 간격(Prime Gaps)이론입니다.
소수의 간격에 관한 주요 이론에는
쌍둥이 소수 추측과 폴리냑 추측그리고 소수 정리가 있습니다.
쌍둥이 소수 추측과 폴리냑 추측은 아직 증명되지 않은 난제이기도 합니다.
소수 정리와 더불어
소수 연구 발전에도 기여한 효율적인 소수 찾는 방법으로
에라토스테네스의 체가 있습니다.
지구의 둘레를 최초로 계산한 고대 그리스의 수학자 에라토스테네스는
작은 범위의 소수를 찾는 효율적인 방법으로
에라토스테네스의 체'를 고안해냈습니다.
에라토스테네스는
자연수가 약수가 1개인 1과 약수가 2개인 소수와
약수가 3개 이상인 합성수로 구분된다는 것을 알았습니다.
1은 소수가 아니므로 지우고 2는 소수이므로 남기고 2의 배수를 모두 지웁니다.
3은 소수이므로 남기고 3의 배수를 모두 지웁니다.
4는 이미 소수가 아니므로 지우고 5는 소수이므로 남기고
5의 배수는 모두 지워줍니다.
이와 같은 과정을 반복하면 소수만 남게 됩니다.
중세시대 이슬람에서는 유클리드의 원론을 비롯한
다양한 그리스 수학 서적이 전파되었습니다.
바그다드에 설립된 지혜의 집에서
이슬람 수학자들은
유클리드의 원론을 비롯한
다양한 수학 서적을 연구하고 토론했습니다.
피타고라스 정리를 독창적인 방법으로 증명했다고 알려진
수학자 사빗 이븐 쿠라Thābit ibn Qurra는
완전수perfect number와 친화수amicable numbers를 연구하고 새로운 결과를 얻었습니다.
서로의 약수의 합이 같은 두 수(친화수)에 대한 연구를 진행하여 친화수 쌍을 찾는 공식을 발견했습니다.
특정 형태의 수열을 나타내는 T타빗 수의 공식은
3 × 2ⁿ - 1 (여기서 n은 0 이상의 정수)입니다.
n = 0일 때: 3 × 2⁰ - 1 = 2
n = 1일 때: 3 × 2¹ - 1 = 5
n = 2일 때: 3 × 2² - 1 = 11
n=3 3 * 2^3 -1 = 23
n=4 3 * 2^4 -1 = 47
이렇게 하여 최초의 소수 타빗 수라고 불리는 소수를 구하였습니다.
그러나 n이 5일때는 소수가 아니었습니다.
유클리드 시대부터 이어온 완전수 연구를
수학자 이븐 알하이탐은
그의 저서 《분석과 종합》에서
처음으로 모든 짝수인 완전수들이
2^n−1 (2^n − 1) 형태를 가진다는 것을 알아냈습니다.
이때 2^n-1는 소수입니다.
이븐 알하이탐은 메르센 수가 소수인지 판별하는 방법을 연구하여 발전시켰고
메르센 수가 완전수와 밀접한 관련이 있다는 것을 알아냈습니다.
마랭 메르센은 1644년 발간한 저서
수학의 신비한 진리(Cogitata physico-mathematica)에서
메르센 소수를 처음 소개하였습니다.
메르센 수는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킵니다.
메르센 소수는 메르센 수 중에서 소수인 수로 3, 7, 31, 127…등이 있습니다.
여기서 ‘자연수 n이 2p-1이라고 할 때, n이 소수면 p도 소수다’라는 사실도 알려졌습니다.
n=11인 경우에서 보면 n이 소수라 해서
항상 메르센 수가 소수인 것은 아닙니다.
그래서 마랭 메르센은 257보다 작거나 같은 자연수 n에 대해
2^n -1이 소수인 경우는
n이 n=2,3,5,7,13,19,31,67,127,257일 때라는
메르센 추측을 내놓았습니다.
메르센 추측에는 일부 오류가 있는데
n=67일 경우와 n=257일때 소수가 아니었으며
n=61,89,107 일때 소수였습니다.
요약하자면 마랭 메르센은 메르센 수에 대해 중요한 연구를 했지만
그의 추측은 완벽하지 않았다고 볼 수 있습니다.
그러나 수학자들에게 큰 영향을 준 메르센 추측에 대해 학자들의 연구는 계속 이어지고 있습니다.
1951년 컴퓨터가 처음으로 메르센 소수를 찾기 전까지
가장 큰 소수인 8번째 메르센 소수는
뤼케가 손으로 계산하여 1876년 증명하였습니다.
에두아르 뤼케가 소수일 가능성이 높다고 예상했던
147,573,952,589,676,412,927 는
1903년 콜린 포크너가 합성수라는 것도 밝혀냈습니다.
이로서 메르센 추측의 일부가 틀렸음을 증명한 것이라 할 수 있습니다.
컴퓨터 과학이라는 학문 분야가 생겨나던 시기에
크게 기여한 앨런튜링은
컴퓨터 과학이 어떤 주제를 탐구하려면
수학적으로 어떤 연구를 해야하는지 수학적 초석을 다져 놓았습니다.
앨런 튜링은 맨체스터 대학교 연구실에 설치하도록 제안했던
맨체스터 마크 1 컴퓨터의 성능을 점검하는데
뤼케-레머 소수 판별법을 이용하여 메르센 소수 찾기 알고리즘으로 성능을 평가했습니다.
메르센 소수 연구에서 중요한 이정표로 여겨지는 컴퓨터 성능 검사였습니다.
1996년 시작된 GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search)
프로젝트를 통해 컴퓨터를 활용한 큰 메르센 소수 찾기 프로젝트가 지금도 진행되고 있습니다.
그리고 이런 소수의 수학적 특성은 리만 가설에서도 찾아볼 수 있습니다.
리만 가설의 내용과 위의 내용을 정리하여 영상으로 만들었습니다.
아래 유튜브 링크를 클릭하셔서 좋은 감상하시길 바랍니다.
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