무리수와 바빌로니아법, 제단의 수학, 알렉산드리아의 헤론법 그리고 뉴턴랩슨법, 연분수

무리수

강태공math

유리수가 아닌 수를 무리수라고 합니다.

소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 됩니다.

실수 가운데 두 정수의 비로 나타나는 수, 즉 분수로 표현할 수 없는 수를 의미합니다.

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수의 개념은 자연수에서 정수, 정수에서 유리수, 유리수에서 실수로 확장됩니다.

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무리수의 역사

무리수의 시작은 정확하지 않지만, 가장 오래된 기록 중 하나는

기원전 350년 경의 아리스토텔레스의 논증입니다.

Aristotle

 

그의 저서 "분석론 전서(Prior Analytics)"에 나타난 논증은

'피타고라스 정리를 이용하여 대각선의 길이와 한 변의 길이의 비가

 

이라고 할 때 모순이 된다.'입니다.

 

만약 m과 n이 둘 다 짝수이면 2로 약분한 다음 생각할 수 있으므로

둘 중 하나는 홀수라고 가정할 수 있습니다.

 

이므로 m은 짝수이고 n은 홀수 이어야 합니다.

 

그러나,​

 

 

로 놓으면

​

이 되어 n이 짝수이어야 하므로 모순입니다.라고 증명하였습니다.

 

그러나, 피타고라스 학파의 학자들은 한 변의 길이가 1인 정사각형의

대각선의 길이에 해당하는​

를 하나의 수로 받아들이는 대신 기하적인 양으로만 취급하였다고 합니다.

 

기하학적인 양이란 도형의 길이, 넓이, 부피와 같은 양을 의미합니다.

그 이유는 피타고라스의 가르침이

"모든 수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있다."라는 가정을 전제로 하고 있어서

피타고라스의 명예를 지키기 위해서 였다고 전해집니다.

전해지는 이야기 중 이러한 수의 존재를 누설한

히파수스를 바다에 던져버렸다는 이야기가 있습니다.

Heron

기원 후 1세기 경 알렉산드리아의 헤론(Heron)은 삼각형의 세 변의 길이를

이용하여 그 넓이를 계산하는 공식으로 만들었는데,

이를 이용하면 제곱근으로 표현되는 무리수가 등장합니다.

Brahmagupta

 

기원 후 7세기에는 인도의 브라마굽타(Brahmagupta)가 만든 원에 내접하는

사각형의 넓이를 구하는 공식에서도

제곱근 형태의 무리수를 얻을 수 있다고 했습니다.

Euler, L.

1700년대의 수학자 오일러(Euler, L.)는 그의 저서 "대수학 원론"에서

제곱근의 개념과 제곱이 아닌 수의 제곱근의 존재 그리고

이들이 무리수임을 쉽게 이해할 수 있도록 설명하였습니다.

오일러는 제곱뿐만 아니라 세제곱,네제곱 등 거듭제곱의 거듭제곱근 및

이를 좀 더 일반화하여 분수를 지수로 하는 수,

예를 들어

​​

즉,

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과 같은 무리수에 대해서도 자세하게 설명할 뿐만 아니라

 

이런 무리수들의 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 등에 대해서도

설명하고 있습니다.

Euclid's Elements

 

유클리드는 원론에서 무리수를 "말할 수 없는 길이"라고 불렀습니다.

이것이 라틴어로 "numerus irrationalis"로 번역되어

지금의 "무리수( irrational number )"로 되었습니다.

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3600여년전의 바빌로니아법부터 인도의 '제단의 수학'

그리고 알렉산드리아의 헤론법 그리고

뉴턴랩슨법 그리고 연분수의 무리수 계산법을

보시고 싶으신 분을 위해 아래 영상을 만들었습니다.

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감사합니다.

https://youtu.be/UkwPimg3XXs

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